В 1988 году я прочитал статью Александра К. Дьюдни, ведущего раздел занимательной науки журнала “Scientific Americanએ”, о множестве Мандельброта, написал программу его визуализации на цветном телевизоре, подключенном через модуль крейта CAMAC к машинке MERA‑CAMAC‑125/СМ4А. После чего мы с коллегами могли часами генерировать и рассматривать завораживающие картинки, записывая выдающиеся в файлы на память. После упомянутой публикации подобные множества стали необычайно популярны, например, множество Мандельброта использовал в качестве своей эмблемы фонд Соросаએ. Гораздо позже, лет через десять, когда меня поразил Парадокс береговой линииએ, я узнал красивое и непонятное словосочетание «голоморфная динамика».
Голоморфная динамикаએ — область математики, где живут множество Мандельбротаએ и множество Жюлиаએ, где кроме красивых картинок есть красивые теоремы, а что самое главное, до сих пор есть неразгаданные загадки. Впрочем, я не математик и в этой области у меня самостоятельных работ нет, что, однако, не помешает вспомнить прошлое и рассказать, как строить завораживающие картинки на популярном языке Python.
Описание алгоритма
Итак, план такой. Пусть c — некоторое комплексное число. Рассмотрим последовательность чисел z0, z1, z2, … , которая строится следующим образом:
z0 = 0, zk+1 = zk2 + c, k = 0, 1, 2,…
На каждом шаге мы берём предыдущее число, возводим в квадрат и прибавляем c. В зависимости от значения c, последовательность чисел {zk} может быть ограниченной или неограниченной. При некоторых значениях она стремительно улетает в бесконечность (конечно в пределах разрядной сетки), а при некоторых тормозится. Если последовательность ограничена, мы говорим, что c принадлежит множеству Мандельброта M.
Поскольку число c комплексное, у него есть вещественная и мнимая части. Каждое комплексное число задаётся точкой декартовой плоскости: по горизонтальной координате будем откладывать вещественную часть, а по вертикальной — мнимую. Таким образом, множество M является множеством на вещественной плоскости.
Для построения графического изображения множества Мандельброта можно использовать алгоритм, называемый escape-time. Суть его такова. Всё множество полностью расположено внутри круга радиуса 2 на плоскости. Поэтому будем считать, что если для точки c последовательность итераций функции fc = z2 + c с начальным значением z = 0 после некоторого большого их числа N (скажем, 100) не вышла за пределы этого круга, то точка принадлежит множеству и красится в черный цвет. Соответственно, если на каком-то этапе, меньшем N, элемент последовательности по модулю стал больше 2, то точка множеству не принадлежит и остается белой. Таким образом, можно получить черно-белое изображение множества, которое и было получено Мандельбротом. Вот с этого мы и начнём.
Чёрно-белое множество, то которое получил Мандельброт
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # библиотеки # инициализиация pmin, pmax, qmin, qmax = -2.5, 1.5, -2, 2 # пусть c = p + iq и p меняется в диапазоне от pmin до pmax, # а q меняется в диапазоне от qmin до qmax ppoints, qpoints = 200, 200 # число точек по горизонтали и вертикали max_iterations = 300 # максимальное количество итераций infinity_border = 100 # если ушли на это расстояние, считаем, что ушли на бесконечность image = np.zeros((ppoints, qpoints)) # image — это двумерный массив, в котором будет записана наша картинка # по умолчанию он заполнен нулями for ip, p in enumerate(np.linspace(pmin, pmax, ppoints)): for iq, q in enumerate(np.linspace(qmin, qmax, qpoints)): c = p + 1j * q # буквой j обозначается мнимая единица: чтобы Python понимал, что речь # идёт о комплексном числе, а не о переменной j, мы пишем 1j z = 0 for k in range(max_iterations): z = z ** 2 + c # Самая Главная Формула if abs(z) > infinity_border: # если z достаточно большое, считаем, что последовательость # ушла на бесконечность # или уйдёт # можно доказать, что infinity_border можно взять равным 4 image[ip, iq] = 1 # находимся вне M: отметить точку как белую break plt.xticks([]) plt.yticks([]) # выключим метки на осях plt.imshow(-image.T, cmap='Greys') # транспонируем картинку, чтобы оси были направлены правильно # перед image стоит знак минус, чтобы множество Мандельброта рисовалось # чёрным цветом plt.show()
Чтобы сделать его цветным, можно, например, каждую точку не из множества красить в цвет, соответствующий номеру итерации, на котором её последовательность вышла за пределы круга.
Цветное множество, то которое за Мандельброта получили другие
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # библиотеки # инициализиация pmin, pmax, qmin, qmax = -2.5, 1.5, -2, 2 # пусть c = p + iq и p меняется в диапазоне от pmin до pmax, # а q меняется в диапазоне от qmin до qmax ppoints, qpoints = 200, 200 # число точек по горизонтали и вертикали max_iterations = 300 # максимальное количество итераций infinity_border = 10 # если ушли на это расстояние, считаем, что ушли на бесконечность def mandelbrot(pmin, pmax, ppoints, qmin, qmax, qpoints, max_iterations=200, infinity_border=10): image = np.zeros((ppoints, qpoints)) p, q = np.mgrid[pmin:pmax:(ppoints*1j), qmin:qmax:(qpoints*1j)] c = p + 1j*q z = np.zeros_like(c) for k in range(max_iterations): z = z**2 + c mask = (np.abs(z) > infinity_border) & (image == 0) image[mask] = k z[mask] = np.nan return -image.T image = mandelbrot(-2.5, 1.5, 1000, -2, 2, 1000) plt.xticks([]) plt.yticks([]) plt.imshow(image, cmap='flag', interpolation='none') plt.show()
Изменяем палитру множества Мандельброта
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from itertools import cycle import matplotlib.colors as clr # библиотеки # инициализиация pmin, pmax, qmin, qmax = -2.5, 1.5, -2, 2 # пусть c = p + iq и p меняется в диапазоне от pmin до pmax, # а q меняется в диапазоне от qmin до qmax ppoints, qpoints = 200, 200 # число точек по горизонтали и вертикали max_iterations = 300 # максимальное количество итераций infinity_border = 10 # если ушли на это расстояние, считаем, что ушли на бесконечность def mandelbrot(pmin, pmax, ppoints, qmin, qmax, qpoints, max_iterations=200, infinity_border=10): image = np.zeros((ppoints, qpoints)) p, q = np.mgrid[pmin:pmax:(ppoints*1j), qmin:qmax:(qpoints*1j)] c = p + 1j*q z = np.zeros_like(c) for k in range(max_iterations): z = z**2 + c mask = (np.abs(z) > infinity_border) & (image == 0) image[mask] = k z[mask] = np.nan return -image.T #image = mandelbrot(-0.793191078177363, 0.16093721735804, 1000, -0.793191, 0.160937, 1000) plt.figure(figsize=(10, 10)) colorpoints = [(1 - (1 - q) ** 4, c) for q, c in zip(np.linspace(0, 1, 20), cycle(['#ffff88', '#000000', '#ffaa00', ]))] cmap = clr.LinearSegmentedColormap.from_list('mycmap', colorpoints, N=2048) # LinearSegmentedColormap создаёт палитру по заданным точкам и заданным цветам # можете попробовать выбрать другие цвета plt.xticks([]) plt.yticks([]) image = mandelbrot(-2.5, 1.5, 1000, -2, 2, 1000) plt.imshow(image, cmap=cmap, interpolation='none') plt.show()
Углубляемся
А теперь в наш алгоритм добавим еще один цикл и рассмотрим поподробнее множество Мандельброта в окрености точки -0.793191078177363, 0.16093721735804
p_center, q_center = -0.793191078177363, 0.16093721735804 for i in range(1,11): scalefactor = i / 12000 plt.xticks([]) plt.yticks([]) pmin_ = (pmin - p_center) * scalefactor + p_center qmin_ = (qmin - q_center) * scalefactor + q_center pmax_ = (pmax - p_center) * scalefactor + p_center qmax_ = (qmax - q_center) * scalefactor + q_center image = mandelbrot(pmin_, pmax_, 500, qmin_, qmax_, 500) print("(", pmin_, ",", pmax_, ") (", qmin_, ",", qmax_, ")") plt.figure(figsize=(10, 10)) plt.imshow(image, cmap='flag', interpolation='none') filename = "images//mandelbrot-" + str(i) + ".png" plt.savefig(filename, format="png") print(filename + " saved")
Думаю, что комментировать здесь особо нечего, итак все понятно, просто наслаждайтесь чудесами из мира фракталов.
Посмотрели. Дизайнеры, кое-что понимающие в кодировании, могут использовать приведенные алгоритмы в своем творчестве для создания оригинальных картинок и фантастических сюжетом. Все они проверены в
В качестве основы этих алгоритмов использованы
А вот здесь, на 88 странице журнала Scientific Amerecen за январь 1988 года, та самая статья, вдохновившая на написание кодов в далёком прошлом
V_mire_nauki_1988_01-90-96-1-6
Множество Мандельброта на Python, опубликовано К ВВ, лицензия — Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International.
Респект и уважуха